Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P
再如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為

 

．

（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖3，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，求PM+PN的最小值．
（3）拓展延伸
如圖4，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)F，使∠AFB=∠AFD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锽P=PC，所以BP+PE=PC+PE=CE，而易知CE=

3

；
（2）過AC作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN'，則PM+PN的最小值為MN'，計(jì)算出BC的長(zhǎng)即為MN'的長(zhǎng)；
（3）找B關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)E，連DE延長(zhǎng)交AC于P即可．

解答：解：（1）因?yàn)镃是B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，
∴BP=PC，
∴BP+PE=PC+PE=CE=

3

；

（2）如下圖過AC作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN'，則PM+PN的最小值為MN'，
因?yàn)镸，N為AB，BC邊上的中點(diǎn)，
∴MN=BC，
又BP=

1

2

×6=3，PC=

1

2

×8=4，
∴在直角△BPC中，BC=5，
∴MN=5．

（3）找B關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)E，連DE延長(zhǎng)交AC于F即可．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)以及求最短路徑問題，難度適中，但步驟多做題時(shí)要圖形結(jié)合，認(rèn)真分析認(rèn)真作圖．