Question

如圖，在等腰梯形中，AC∥OB，OA=BC．以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，已知A（2，2

2

），B（8，0）．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為OB的中點(diǎn)，以D為圓心，OB長(zhǎng)為直徑作⊙D，試判斷點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系；
（3）在第一象限內(nèi)確定點(diǎn)M，使△MOB與△AOB相似，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知四邊形OACB是等腰梯形，則根據(jù)A，B的坐標(biāo)及等腰梯形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）連接AD，根據(jù)已知可推出四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)A作AE⊥OB于E，根據(jù)勾股定理即可注得AO的長(zhǎng)，從而可判定點(diǎn)A在⊙D上．
（3）點(diǎn)A在⊙D上，OB為直徑，則可知△OAB是直角三角形，從而分情況進(jìn)行分析即可．

解答：解：（1）C（6，2

3

）；

（2）連接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
∵D是圓心
∴DB=

1

2

OB=4=AC
∴ACBD是平行四邊形
∴AD=CB=AO
過(guò)A作AE⊥OB于E
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4
∴AD=AO=4=

1

2

OB
∴點(diǎn)A在⊙D上；

（3）∵點(diǎn)A在⊙D上，OB為直徑
∴∠OAB=90°
即△OAB是直角三角形
故符合題意的點(diǎn)M有以下3種情況：
①當(dāng)△OM₁B與△BAO相似時(shí)（如圖），則有

M1B

OB

=

AO

BO

∴M₁B=AO
∵CB=AO
∴M₁B=CB
∴點(diǎn)M₁與點(diǎn)C重合
∴此時(shí)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（6，2

3

）；
②當(dāng)△OM₂B與△OBA相似時(shí)，即過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線交OA的延長(zhǎng)線于M₂（如圖），
則有

M2B

OB

=

AB

AO

．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4

3

．
∴M₂B=8

3

．
∴此時(shí)點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（8，8

3

）．

③當(dāng)△OM₃B與△BOA相似時(shí)，即過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線交OC的延長(zhǎng)線于M₃（如圖），
則有

M3B

OB

=

AO

AB

．
∴M₃B=

8 3

3

．
∴此時(shí)點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（8，

8 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及相似三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．