Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）、B（6，-6）和原點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若過點(diǎn)B的直線y=kx+b與拋物線交于點(diǎn)C（2，m），請(qǐng)求出△OBC的面積S的值；
（3）過點(diǎn)C作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)D，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PF平行于y軸交x軸于點(diǎn)F，交直線DC于點(diǎn)E．直線PF與直線DC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OFED，是否存在點(diǎn)P，使得△OCD與△CPE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A，B，C三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式即可求得二次函數(shù)解析式．
（2）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求得縱坐標(biāo)，把點(diǎn)C、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求得一次函數(shù)解析式．進(jìn)而求得OG長．S_△OBC=S_△OGC+S_△OGB
（3）兩三角形相似，已有兩個(gè)直角相等，那么夾直角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；注意對(duì)應(yīng)邊的不同可分兩種情況進(jìn)行分析．

解答：解：（1）由題意得：

25a+5b+c=0 36a+6b+c=-6 c=0

，（2分）
解得

a=-1 b=5 c=0

．
故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+5x；

（2）因?yàn)镃在拋物線上，
所以-2²+5×2=m，所以m=6（5分）
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）
因?yàn)锽，C在直線y=kx+b′上，
所以

6=2k+b′ -6=6k+b′

．
解得k=-3，b′=12
直線BC的解析式為y=-3x+12
設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)G，則G的坐標(biāo)為（4，0）
所以S_△OBC=

1

2

×4×6+

1

2

×4×|-6|=24

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE設(shè)P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，則要

OD

CE

=

DC

EP

或

OD

EP

=

DC

CE

即

6

m-2

=

2

6-n

或

6

6-n

=

2

m-2

解得m=20-3n或n=12-3m
又因?yàn)椋╩，n）在拋物線上，

m=20-3n n=-m2+5m

．
或

n=12-3m n=-m2+5m

．
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，即

m2=2 n2=6

，
或

m1=2 n1=6

，即

m2=6 n2=-6

，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（

10

3

，

50

9

）和（6，-6）．

點(diǎn)評(píng)：通常采用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；兩對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似．