Question

5、分解因式：
（1）x⁹+x⁶+x³-3；
（2）（m²-1）（n²-1）+4mn；
（3）（x+1）⁴+（x²-1）²+（x-1）⁴；
（4）a³b-ab³+a²+b²+1．

Answer 1

分析：（1）首先將-3拆成-1-1-1，多項(xiàng)式變?yōu)椋▁⁹-1）+（x⁶-1）+（x³-1），然后分別利用公式法分解因式即可求解；
（2）首先將4mn拆成2mn+2mn，多項(xiàng)式變?yōu)椋╩²n²+2mn+1）-（m²-2mn+n²），然后分別利用公式法分解因式即可求解；
（3）首先將（x²-1）²拆成2（x²-1）²-（x²-1）²，多項(xiàng)式變?yōu)閇（x+1）⁴+2（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴]-（x²-1）²，然后利用公式法分解因式即可求解；
（4）首先添加兩項(xiàng)+ab-ab，多項(xiàng)式變?yōu)椋╝³b-ab³）+（a²-ab）+（ab+b²+1），然后分別分解因式，接著提取公因式即可求解．

解答：解（1） 原式=x⁹+x⁶+x³-1-1-1
=（x⁹-1）+（x⁶-1）+（x³-1）
=（x³-1）（x⁶+x³+1）+（x³-1）（x³+1）+（x³-1）
=（x³-1）（x6+2x³+3）
=（x-1）（x²+x+1）（x⁶+2x³+3）；

（2） 原式=（m²-1）（n²-1）+2mn+2mn
=m²n²-m²-n²+1+2mn+2mn
=（m²n²+2mn+1）-（m²-2mn+n²）
=（mn+1）²-（m-n）²
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）；

（3） 原式=（x+1）⁴+2（x²-1）²-（x²-1）²+（x-1）⁴
=[（x+1）⁴+2（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴]-（x²-1）²
=[（x+1）²+（x-1）²]²-（x²-1）²
=（2x²+2）²-（x²-1）²=（3x²+1）（x²+3）；

（4） 原式=a³b-ab³+a²+b²+1+ab-ab
=（a³b-ab³）+（a²-ab）+（ab+b²+1）
=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b²+1）
=a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b²+1）
=[a（a-b）+1]（ab+b²+1）
=（a²-ab+1）（b²+ab+1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用分組分解法分解因式，其中（4）是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．