Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求a的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點(diǎn)M，使△AMC與△ABC的面積相等；
（3）設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一點(diǎn)N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2﹣ x+2經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），

∴9a﹣ ×3+2=0，

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+2，

∵y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x2+3x）+2=﹣ （x+ ）2+ ，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）

（2）

解：∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+2的對稱軸為直線x=﹣ ，

與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．

又∵當(dāng)x=0時，y=2，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

則 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+2．

∵S△AMC=S△ABC，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)M到AC的距離相等，

又∵點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方，

∴BM∥AC，

設(shè)直線BM的解析式為y= x+n，

將點(diǎn)B（3，0）代入，得 ×3+n=0，

解得n=﹣1，

∴直線BM的解析式為y= x﹣1．

由 ，解得 ， ，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣9，﹣4）

（3）

解：在拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：

∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．

連接BC并延長，交直線x=﹣ 于點(diǎn)N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，

得 ， ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

當(dāng)x=﹣ 時，y=﹣ ×（﹣ ）+2=3，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣ ，3），d的最大值為BC= = ．

【解析】（1）先把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax2﹣ x+2，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣ x2﹣ x+2，求出與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由△AMC與△ABC的面積相等，得出這兩個三角形AC邊上的高相等，又由點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方，得出BM∥AC，則點(diǎn)M既在過B點(diǎn)與AC平行的直線上，又在拋物線y=﹣ x2﹣ x+2上，所以先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y= x+2，再設(shè)直線BM的解析式為y= x+n，將點(diǎn)B（3，0）代入，求出n的值，得到直線BM的解析式為y= x﹣1，然后解方程組 ，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=﹣ 于點(diǎn)N，連接AN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再將x=﹣ 代入，求出y的值，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．