Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，過A作⊙O₁的切線交⊙O₂于E，連接EB并延長交⊙O₁于C，直線CA交⊙O₂于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)A、D不重合時，求證：AE=DE
（2）當(dāng)D與A重合時，且BC=2，CE=8，求⊙O₁的直徑．

Answer 1

解：（1）證明：連接AB，在EA的延長線上取一點(diǎn)F，作⊙O₁的直徑AM，連接CM，
則∠ACM=90°，
∴∠M+∠CAM=90°，
∵AE切⊙O₁于A，
∴∠FAM=∠EAM=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O₂的內(nèi)接四邊形ABED的外角，
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED．

（2）當(dāng)D與A重合時，直線CA與⊙O₂只有一個公共點(diǎn)，
∴直線AC與⊙O₂相切，
∴CA，AE分別是⊙O₁和⊙O₂的直徑，
∴由切割線定理得：AC²=BC•CE，
∴AC=4．
答：⊙O₁直徑是4．
分析：（1）通過證角相等來證邊相等．連接AB，那么ABED就是圓O₂的內(nèi)接四邊形，根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得證，我們發(fā)現(xiàn)∠EAD的對頂角正好是圓O₁的弦切角，因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根據(jù)等角對等邊也就得出本題要求的結(jié)論了；
（2）DA重合時，CA與圓O₂只有一個交點(diǎn)，即相切．那么CA，AE分別是⊙O₁和⊙O₂的直徑（和切線垂直弦必過圓心），根據(jù)切割線定理AC²=CB•CE，即可得出AC=4，即圓O₁的直徑是4．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，相切兩圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定，弦切角定理，切割線定理等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中，通過左此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力．