Question

點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的圖象上，且OB=4，過B作x軸垂線垂足為A，∠BOA=30°．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)B的直線與x軸交于點(diǎn)P，若△OBP為等腰三角形，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用OB=4，∠BOA=30°求得線段AB和線段OA的長即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求得經(jīng)過點(diǎn)B的雙曲線的解析式；
（2）利用當(dāng)BO=BP₁時(shí)，當(dāng)BO=OP₂時(shí)，當(dāng)BP₃=OP₃時(shí)，當(dāng)BO=OP₄時(shí)分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖1，∵OB=4，∠BOA=30°，
∴BA=

1

2

OB=2，
∴OA=

3

AB=2

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2

3

，2），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的圖象上，
∴2=

k

2 3

，
解得：k=4

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

4 3

x

；

（2）如圖2，∵△OBP為等腰三角形，
∴當(dāng)BO=BP₁時(shí)，此時(shí)AP₁=AO=2

3

，則P₁的坐標(biāo)為（2

3

，0），
當(dāng)BO=OP₂時(shí)，此時(shí)BO=OP₂=4，則P₂的坐標(biāo)為（4，0），
當(dāng)BP₃=OP₃時(shí)，∵∠BOA=30°，BP₃=OP₃，
∴∠BOA=∠OBP₃=30°，
∴∠BP₃A=60°，
∵AB=2，sin60°=

AB

BP3

，
∴BP₃=

AB

sin60°

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴BP₃=OP₃=

4 3

3

，
則P₃的坐標(biāo)為（

4 3

3

，0），
當(dāng)BO=OP₄時(shí)，此時(shí)BO=OP₄=4，則P₄的坐標(biāo)為（-4，0），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，0）或（4，0）或（

4 3

3

，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論得出答案．