Question

如圖，△ABO中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過AB的中點C，分別交OA、OB于點E、F．若△ABO腰上的高BD等于底邊AB的一半且AB=4

3

．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）求弧ECF的長；
（3）把扇形OEF卷成一個無底的圓錐，則圓錐的底面半徑是多少？

Answer 1

分析：（1）由三角形ABD為直角三角形，且BD等于AB的一半，得到∠A為30°，根據(jù)OA=OB，利用等邊對等角得到∠A=∠B，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)即可；
（2）由C為AB的中點，利用三線合一得到OC垂直于AB，根據(jù)AB的長求出AC的長，在直角三角形AOC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OC的長，即為圓的半徑，利用弧長公式即可求出弧ECF的長；
（3）（2）求出弧ECF的長，即為圓錐底面圓的周長，利用圓的周長公式求出圓錐的底面半徑即可．

解答：解：（1）在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°；

（2）∵OA=OB，C為AB的中點，
∴OC⊥AB，AC=BC=

1

2

AB=2

3

，
在Rt△AOC中，tanA=

OC

AC

，即tan30°=

OC

2 3

，
∴OC=2，
∴弧ECF長為

120π×2

180

=

4π

3

；

（3）∵弧ECF的長即為圓錐的底面周長，
∴圓錐的底面半徑r=

4π 3

2π

=

2

3

．

點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：含30°直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓錐的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．