Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．動點P、Q分別是在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）設(shè)PC為x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；
（3）在（2）中，當(dāng)y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）需證△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可證△BPM∽△CQP，則PC：BM=CQ：BP，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，即可得到BP與CQ的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先利用二次函數(shù)求最值，求出y取最小值時x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．

解答：解：（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中點，
∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，（2分）
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）在等邊三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴PC：BM=CQ：BP（5分）
∵PC=x，MQ=y，則BP=4-x，QC=4-y，
∴

x

4

=

4-y

4-x

，
∴y=

1

4

x²-x+4（0＜x＜4）
（3）△PQC為直角三角形，
由（2）知，當(dāng)MQ取最小值時，x=PC=2．
∴P是BC的中點，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°，
∴△PQC是直角三角形．

點評：本題考查了本題考查平行四邊形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．還考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)，求函數(shù)最小值等知識點．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．