Question

△ABC的三邊長(zhǎng)皆為整數(shù)，且a+bc+b+ca=24，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，它的面積的答案有

1. A.
   1種
2. B.
   2種
3. C.
   3種
4. D.
   4種

Answer 1

C
分析：先把已知的式子左邊因式分解，得（a+b）（c+1）=24，再利用△ABC的三邊長(zhǎng)皆為整數(shù)，那么可知24=1×24=2×24=3×8=4×6，于是分4種情況討論，并結(jié)合三角形三邊的關(guān)系，最后確定不同三角形的個(gè)數(shù)，從而求出答案．
解答：∵a+bc+b+ca=24，
∴a（c+1）+b（c+1）=24，
即（a+b）（c+1）=24，
又∵△ABC的三邊長(zhǎng)皆為整數(shù)，
24=1×24=2×12=3×8=4×6，
①由于a+b＞c＞0，∴c+1=1，a+b=24，其中求出c=0，不合題意，故舍去；
②由于a+b＞c＞0，∴c+1=2，a+b=12，
解得c=1，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，則2c=2＜11，不能構(gòu)成三角形，
故c只能是底邊，
∴a=b=6；
③由于a+b＞c＞0，∴c+1=3，a+b=8，
解得c=2，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，則2c=4＜6，不能構(gòu)成三角形，
故c只能是底邊，
∴a=b=4；
④由于a+b＞c＞0，∴c+1=4，a+b=6，
解得c=3，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，則2c=6＞3，能構(gòu)成三角形，
故c能是底邊，也能是腰，
∴a=b=3或a=b=3；（此時(shí)的三角形是等邊三角形）
∴能組成3個(gè)不同的三角形，面積的答案有3種．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系、分類討論．分類討論后一定要進(jìn)行驗(yàn)證這是正確解答本題的關(guān)鍵．