Question

如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內接四邊形，分別延長AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，則⊙O的面積為

1. A.
   25π
2. B.
   16π
3. C.
   15π
4. D.
   13π

Answer 1

D
分析：連接AC，由圓周角定理可得出∠ACD=90°，再由圓內接四邊形的性質及三角形內角和定理可求出∠PAC=30°，由直角三角形的性質可求出AP、AC的長，由相似三角形的判定定理及性質可得出CD的長，再根據(jù)勾股定理接可求出AD的長，進而求出該圓的面積．
解答：解：連接AC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠APD=60°，
∴∠PAC=30°，
∴AP=2PC=2×4=8，
∵AB=5，
∴PB=8-5=3，
∵四邊形ABCD是以AD為直徑的圓內接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，∠APD=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴=，即=，PD=6，
∴CD=PD-PC=6-4=2，
∴AC===4，
在Rt△ACD中，AD===2．
∴OA=AD=，
∴⊙O的面積=π×（）²=13π．
故選D．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質、圓內接四邊形的性質、勾股定理，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形求解．