Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線y=-x²+（m-2）x+4m-7與x軸交于A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P是這條拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），且點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，D（0，3）是y軸上的一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若E、F是 y 軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上面），且EF=2，當(dāng)四邊形PBEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（3）若Q是線段AC上一點(diǎn)，且S_△COQ=2S_△AOQ，M是直線DQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)存在一點(diǎn)N，使得以 O、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)

Answer 1

解：（1）∵拋物線+（m-2）x+4m-7關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴拋物線的解析式是y=-+1
令y=0，得x=
∴A（-，0），B（，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB=，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB=，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分線．
∴直線BD與x軸關(guān)于直線BC對(duì)稱．
因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，
則符合條件的點(diǎn)P就是直線BD與拋物線y=-+1的交點(diǎn)．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．
∴，
∴，
∴直線BD的解析式為
∵點(diǎn)P在直線BD上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為
又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y=-+1上，
∴=-+1
∴．
∴y₁=0，y₂=-3
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

（2）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，在PG上截取PH=2，連接AH與y軸交于點(diǎn)E，在y軸的負(fù)半軸上截取EF=2．

∵PH∥EF，PH=EF，
∴四邊形PHEF為平行四邊形，有HE=PF．
又∵PB、EF的長為定值，
∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形PBEF的周長最�。�
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽R(shí)t△AGH．
∴．
∴OE==．
∴OF=OE+EF=+2=．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-）．

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)是）或）或，．
分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件求出拋物線的解析式，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)求出∠OBC的度數(shù)和∠OBD的度數(shù)，再證出直線BD與x軸關(guān)于直線BC對(duì)稱，再設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，再把各點(diǎn)代入，最后求出結(jié)果即可．
（2）本題可先過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，在PG上截取PH=2，證出四邊形PHEF為平行四邊形得出HE=PF，再根據(jù)已有的條件證出Rt△AOE∽R(shí)t△AGH，最后即可求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．
（3）本題根據(jù)已有的條件，再結(jié)合圖形，可以直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．