【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)AC-CB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.當(dāng)點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合時(shí),過(guò)點(diǎn)P作其所在直角邊的垂線(xiàn)交AB 于點(diǎn)Q,再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR,且點(diǎn)R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側(cè),設(shè)△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位).點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)求點(diǎn)P在AC邊上時(shí)PQ的長(zhǎng),(用含t的代數(shù)式表示);
(2)求點(diǎn)R到AC、PQ所在直線(xiàn)的距離相等時(shí)t的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫(xiě)出點(diǎn)R落在△ABC高線(xiàn)上時(shí)t的值.
【答案】(1) 3t;(2) 0<t<1或t=;(3)s=-28t2+44t-16;(4)
【解析】
試題分析:(1)只需利用三角函數(shù)就可解決問(wèn)題;
(2)可分點(diǎn)P在AC邊上(圖①)和點(diǎn)P在BC邊上(圖②)兩種情況討論:當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí),易得點(diǎn)R到AC、PQ所在直線(xiàn)的距離始終相等,從而可得0<t<1;當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),易得PC=PQ,由此建立關(guān)于t的方程,就可解決問(wèn)題;
(3)可分△PQR全部在△ABC內(nèi)和△PQR部分在△ABC內(nèi)兩種情況討論:當(dāng)△PQR全部在△ABC內(nèi)時(shí),只需運(yùn)用三角形的面積公式就可解決問(wèn)題;當(dāng)△PQR部分在△ABC內(nèi)時(shí),只需運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問(wèn)題;
(4)可分以下幾種情況討論:點(diǎn)R在AB的高CH上(如圖④和圖⑦)、點(diǎn)R在AC的高BC上(如圖⑤)、點(diǎn)R在BC的高AC上(如圖⑥),其中圖④和圖⑦可通過(guò)構(gòu)造K型全等,并利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題,圖5和圖6可通過(guò)PQ=2PC來(lái)解決問(wèn)題.
試題解析:(1)如圖①,
由題意可知AP=4t,
tanA=,
∴PQ=3t;
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí),如圖①.
∵∠RPQ=45°,∠CPQ=90°,
∴∠CPR=45°=∠RPQ,
∴點(diǎn)R到直線(xiàn)AC、PQ距離相等,
此時(shí)0<t<1.
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H,如圖②,
則有PC=4t-4,PB=7-4t,
∵tanB=,
∴PQ=PB=(7-4t).
由題可得:RH=PC.
∵RH=PQ,
∴PC=PQ,
∴4t-4=(7-4t),
解得:t=.
綜上所述:0<t<1或t=;
(3)①當(dāng)0<t≤時(shí),如圖①.
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H,
S=PQRH=×3t×=t2.
②當(dāng)<t<1時(shí),如圖③.
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,
則有RG⊥MN,RH=PQ=t,GH=PC=4-4t,
∴S=S△RPQ-S△RMN=PQRH-MNRH
=RH2-RG2=(t)2-[t-(4-4t)]2
=-28t2+44t-16;
(4)點(diǎn)R落在△ABC高線(xiàn)上時(shí),t的值為,,,.
可分以下幾種情況討論:如圖④~⑦
①點(diǎn)P在AC上,且點(diǎn)R在AB的高CH上,如圖④,
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CH于G,
易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.
易求得AB=5,CH=,AH=,BH=.
PC=4-4t,CG=PC=(4-4t),PG=PC=(4-4t),
AQ=AP=5t,QH=AH-AQ=-5t.
根據(jù)CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=,得
(4-4t)+-5t+(4-4t)=,
解得:t=.
②點(diǎn)P在AC上,且點(diǎn)R在AC的高BC上,如圖⑤
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于H,
易得PQ=2RH=2PC,PQ=AP=3t,PC=4-4t,
∴3t=2(4-4t),
解得:t=.
③點(diǎn)P在BC上,且點(diǎn)R在BC的高AC上,如圖⑥,
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于H,
易得PQ=2RH=2PC,PQ=PB=(7-4t),PC=4t-4,
∴(7-4t)=2(4t-4),
解得:t=.
④點(diǎn)P在BC上,且點(diǎn)R在AB的高CH上,如圖⑦,
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CH于G,
易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.
易證△CGP∽△CHB,
∴.
∵BC=3,CH=,BH=,CP=4t-4,
∴CG=PC=(4t-4),PG=PC=(4t-4),
同理可得QB=PB=(7-4t),QH=QB-BH=(7-4t)-.
根據(jù)CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH=,得
(4t-4)+(4t-4)-[(7-4t)-]=,
解得:t=.
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(1)按照上表所示的規(guī)律,當(dāng)x每增加1時(shí),y如何變化?
(2)寫(xiě)出座位數(shù)y與排數(shù)x之間的關(guān)系式;
(3)按照上表所示的規(guī)律,某一排可能有90個(gè)座位嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.
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(1)試估計(jì)該小區(qū)5月份用水量不高于12 t的戶(hù)數(shù)占小區(qū)總戶(hù)數(shù)的百分比;
(2)把圖中每組用水量的值用該組的中間值(如0~6的中間值為3)來(lái)替代,估計(jì)該小區(qū)5月份的用水量.
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