【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AD,對角線BD為⊙O的直徑,AC與BD交于點E.點F為CD延長線上,且DF=BC.

(1)證明:AC=AF;

(2)若AD=2,AF=,求AE的長;

(3)若EG∥CF交AF于點G,連接DG.證明:DG為⊙O的切線.

【答案】(1)證明見解析;

(2)AE的長為

(3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得:∠ABC+ADC=180°,又∠ADF+ADC=180°,故∠ABC=ADF,結合已知條件可證ABC≌△ADF,從而可得結論;

2由(1)得AC=AF,由AB=AB,得∠ADE=ACD.可證ADE∽△ACD,得,變換比例式從而得解;

3通過證明ADG∽△AFD得∠ADG=F.再運用切線的判定定理即可得證.

試題解析:1)證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠ABC+ADC=180°

∵∠ADF+ADC=180°,∴∠ABC=ADF

ABCADF中,

∴△ABC≌△ADF

AC=AF;

2由(1)得,AC=AF=

AB=AD,

∴∠ADE=ACD

∵∠DAE=CAD

∴△ADE∽△ACD

3)證明:∵EGCF,

AG=AE

由(2)得,

∵∠DAG=FAD,∴△ADG∽△AFD

∴∠ADG=F

AC=AF,∴∠ACD=F

又∵∠ACD=ABD,

∴∠ADG=ABD

BD為⊙O的直徑,

∴∠BAD=90°

∴∠ABD+BDA=90°∴∠ADG+BDA=90°

GDBD

DG為⊙O的切線.

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