Question

（2007•佳木斯）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，6），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在x軸的負(fù)半軸和正半軸上，OB，OC的長(zhǎng)分別是方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若平面內(nèi)有M（1，-2），D為線段OC上一點(diǎn)，且滿足∠DMC=∠BAC，求直線MD的解析式；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q和點(diǎn)P（點(diǎn)P在直線AC上），使以O(shè)，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程x²-4x+3=0，結(jié)合圖形求解；
（2）過(guò)A作AH⊥x軸于H點(diǎn)，可證明△CAB∽△CMD．根據(jù)相似形的性質(zhì)求D點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求MD的解析式．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可直接寫出存在的點(diǎn)Q₁（3，3）或．
解答：解：（1）x²-4x+3=0，
得x=3或1．
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）．

（2）過(guò)A作AH⊥x軸于H點(diǎn)，則AH=CH=6，
∴∠ACB=45°，
同理（過(guò)M作MT⊥x軸于T點(diǎn)，則MT=CT=2 ）可證：∠MCD=45°，
∴∠ACB=∠MCD．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴．
在△AHC中，，同理，
∴，
∴，
∴，．
設(shè)MD的解析式為y=kx+b（k≠0），則，
∴
∴函數(shù)解析式是：y=3x-5．

（3）存在．Q₁（3，3）或．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．