某電影院共有1000個座位,票價不分等次,該影院的經(jīng)營經(jīng)念是:當(dāng)票價不超過10元時,票可以全部售出;當(dāng)票價高于10元時,每提高1元,將有30張票不能售出.為了獲得更好的收益,影院準(zhǔn)備制定一個合適的票價,票價需滿足以下幾個條件:①票價為1元的整數(shù)倍;②放映一場電影的成本費用為5750元,票房收入必須高于成本費用.
求:(1)一張電影票的最低價格為多少元?
(2)當(dāng)票價高于10元時,若票價為每張x(元),放映一場利潤為y(元),求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)每張票多少元時,放映一場電影的利潤最高?最高為多少元?
解:(1)∵影院放映一場電影的成本費用為5750元,票房收入必須高于成本費用,
∴票房收入>5750元,
∵該影院共有l(wèi)000個座位,
∴一張電影票的價格>5.75元,
又∵票價為l元的整數(shù)倍,
∴該院一張電影票的最低價格為6元;
(2)當(dāng)票價高于10元時:y=x[1000-30(x-10)]-5750=-30x
2+1300x-5750,
∵
,
∴5<x<38
,
又∵x為大于10的整數(shù),
∴10<x≤38.
∴y=-30x
2+1300x-5750(10<x≤38的整數(shù));
(3)當(dāng)票價不超過l0元時:y=1000x-5750,
∵1000>0,
∴y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=10時,y的值最大,此時y=1000×10-5750=4250(元);
當(dāng)票價高于10元時,y=-30x
2+1300x-5750,
∵-30<0,
∴當(dāng)x=-
=21
≈22時,y的值最大,此時y=-30×22
2+1300×22-5750=8330(元).
綜上可知,當(dāng)每張票定為22元時,放映一場電影的利潤最高,最高為8330元.
分析:(1)利用影院放映一場的成本費用支出為5750元,票房收入必須高于成本費用,該影院共有l(wèi)000個座位,即可求出x的最小值;
(2)根據(jù)利潤=票房收入-成本費用,即可求出當(dāng)票價高于10元時y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)票價不超過l0元時,利用一次函數(shù)的增減性求出最值,當(dāng)票價高于10元時,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值,再比較即可.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的最值求法,利用已知條件根據(jù)自變量的取值范圍得出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.