Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（D不與B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E．
（1）∠BAD與∠CDE的大小關(guān)系為_(kāi)_____．請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（4）是否存在x，使△DCE的面積是△ABD面積的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）相等；
證明如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．如圖1，
∵∠1+∠B+∠ADB=180°，
∴∠1+∠ADB=180°-∠B=135°．
又∵∠2+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠2+∠ADB=180°-∠ADE
=180°-45°=135°，
即∠1+∠ADB=∠2+∠ADB，
∴∠1=∠2．

（2）由（1）知∠1=∠2，又∵∠B=∠C=45°，
∴△DCE∽△ABD．
若BD=x，則CD=BC-BD=2-x，
由△DCE∽△ABD得，即，
CE=（2-x）x，
=-x²+x，
y=AE=AC-CE=2-（-x²+x）
∴y=x²-x+2，
其中0＜x＜2．

（3）解：∵點(diǎn)D不能與B點(diǎn)重合，∴AD=AE不能成立
（或：∵∠ADE=45°，若AD=AE，
則∠AED=ADE=45°，從而∠DAE=90°，
即B與D重合，這與已知條件矛盾）．
①當(dāng)AE、DE為腰，即AE=DE時(shí)（如圖2），
∠EAD=∠EDA=45°，此時(shí)，AD平分∠BAC，
∴D為BC邊的中點(diǎn)（“三線合一”性質(zhì)），
且E也為AC邊的中點(diǎn)，∴AE=1；
②當(dāng)AD、DE為腰，即AD=DE時(shí)（如圖3），
由（1）△ABD∽△DCE知，此時(shí)AD與DE為對(duì)應(yīng)邊，
∴△ABD≌△DCE，DC=AB=2，
BD=BC-CD=2-2，AE=AC-EC
=2-BD=2-（2-2）=4-2；
綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，
AE的長(zhǎng)為1或4-2；


（4）不存在．
原因如下：∵△DCE∽△ABD，若△DCE的面積是△ABD面積的2倍，則=2，
從而=，CE=BD，-x²+x=x，
解得x=0，即BD=0，就是說(shuō)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，
這與已知條件矛盾，
∴不存在x，使△DCE的面積是△ABD面積的2倍．
分析：（1）由AB=AC易知△ABC是等腰直角三角形，即∠B=∠C=45°，已知∠ADE=45°，由三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義可得∠BAD、∠CDE都等于180°-45°-∠ADB，由此可證得兩角相等．
（2）由（1）的等角，聯(lián)立∠B=∠C=45°，可證得△DCE∽△ABD，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可表示出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而由AE=AC-CE求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）由于D與B、C不重合，顯然∠ADE=∠AED=45°不符合題意，即AD≠AE，所以此題分兩種情況討論：
①AD=DE，此時(shí)（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CE、AE的值；
②AE=DE，此時(shí)∠DAE=45°，即AD平分∠BAC，由于△BAC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，同理可證得DE垂直平分AC，即AE為AC長(zhǎng)的一半，由此得解．
（4）若△DCE的面積是△ABD面積的2倍，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可知：CE=BD，然后表示出AE的長(zhǎng)，代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得x的值，若x=0，則說(shuō)明D、B重合，顯然不存在符合條件的x，若x的值符合（2）的自變量取值范圍，那么x的值即為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)還涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．