Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始，沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點D從點A開始，沿邊AB向點B以每秒

5

3

個單位長度的速度運動，且恰好能始終保持連結兩動點的直線PD⊥AC，動點Q從點C開始，沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，連結PQ．點P，D，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另兩個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．
（1）當t為何值時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的

1

2

？
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

分析：（1）首先表示出四邊形面積以及求出三角形面積，進而解方程得出即可；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形；
（3）利用（2）中所求，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線PD⊥AC，
∴BC∥PD，
∴四邊形BQPD的面積為：

1

2

（BQ+DP）×PC=

1

2

（8-2t+

4

3

t）×（6-t）
△ABC面積為：

1

2

×AC×BC=

1

2

×6×8=24，
∴四邊形BQPD的面積為△ABC面積的

1

2

時：

1

2

×24=（8-

2

3

t）×（6-t），
解得：t₁=9+3

5

，t₂=9-3

5

，
∵當其中一點到達端點時，另兩個點也隨之停止運動，
∴t≤4，
∴t₁=9+3

5

不合題意舍去，
∴當t為9-3

5

時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的

1

2

；

（2）存在，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AP

AC

，即

AD

10

=

t

6

，
∴AD=

5

3

t，
∴BD=AB-AD=10-

5

3

t，
∵BQ∥DP，
∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，
即8-2t=

4t

3

，解得：t=

12

5

．
存在t=

12

5

時，使四邊形PDBQ為平行四邊形；

（3）不存在，
理由：當t=

12

5

時，PD=

4

3

×

12

5

=

16

5

，BD=10-

5

3

×

12

5

=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能為菱形．
設點Q的速度為每秒v個單位長度，
則BQ=8-vt，PD=

4

3

t，BD=10-

5

3

t，
要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，
當PD=BD時，即

4

3

t=10-

5

3

t，解得：t=

10

3

當PD=BQ，t=

10

3

時，即

4

3

=8-

10

3

，解得：v=

16

15

當點Q的速度為每秒

16

15

個單位長度時，經(jīng)過

10

3

秒，四邊形PDBQ是菱形．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．