(2008•杭州)如圖,在等腰△ABC中,CH是底邊上的高線,點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),連接AP交BC于點(diǎn)E,連接BP交AC于點(diǎn)F.
(1)證明:∠CAE=∠CBF;
(2)證明:AE=BF;
(3)以線段AE,BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG(點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G),記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG,如果存在點(diǎn)P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取值范圍.

【答案】分析:(1)證得△ACP≌△BCP即可;
(2)加上(1)的結(jié)論,證得△ACE≌△BCF即可;
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,能使得S△ABC=S△ABG,由(2)得到的AE=BF,則新三角形ABG也為等腰三角形,根據(jù)底邊都為AB,面積相等,得到高相等,所以AC=AE,即三角形ACE為等腰三角形,則底角∠C為銳角,即可得到∠C的取值范圍.
解答:(1)證明:∵△ABC是等腰三角形,CH是底邊上的高線,
∴AC=BC,∠ACP=∠BCP.
又∵CP=CP,
∴△ACP≌△BCP.
∴∠CAP=∠CBP,即∠CAE=∠CBF.

(2)證明:∵在△ACE與△BCF中,
,
∴△ACE≌△BCF(ASA).
∴AE=BF.

(3)解:∵由(2)知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形,
∴S△ABC=S△ABG
∴AE=AC.
①當(dāng)∠C為直角或鈍角時(shí),在△ACE中,不論點(diǎn)P在CH何處,均有AE>AC,所以結(jié)論不成立;
②當(dāng)∠C為銳角時(shí),∠CAH=90°-∠C,而∠CAE<∠CAH,要使AE=AC,只需使∠C=∠CEA,
此時(shí),∠CAE=180°-2∠C,
只須180°-2∠C<90°-1/2∠C,解得60°<∠C<90°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì);兩條線段在不同的三角形中要證明相等時(shí),通常是利用全等來進(jìn)行證明.需注意已證得條件在以后證明中的應(yīng)用,以及分情況進(jìn)行討論等情況.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)證明:∠CAE=∠CBF;
(2)證明:AE=BF;
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C.90°
D.100°

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A.
B.
C.
D.

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