Question

如圖，正方形ABCD，P為邊BC延長線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊BC于O，交邊AB的延長線于N．
（1）選圖中任一對相似三角形，并證明；
（2）若∠P=60°，CP=2，求OE的長．

Answer 1

解：（1）△OCM∽△OEP．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠OCM=90°，
∵DP⊥OE，
∴∠OEP=90°，
而∠MOC=∠POE，
∴△OCM∽△OEP；

（2）在Rt△DCP中，∠P=60°，CP=2，
∴DP=2CP=4，
∵OE垂直平分DP，
∴PE=DP=2，
在Rt△POE中，OE=PE=2．
分析：（1）由正方形的性質(zhì)得∠OCM=90°，由DP⊥OE得到∠OEP=90°，加上∠MOC=∠POE，于是可判斷△OCM與△OEP相似；
（2）在Rt△DCP中，由于∠P=60°，CP=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DP=4，再根據(jù)OE垂直平分DP得到PE=DP=2，所以在Rt△POE中，OE=2．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了正方形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)．