(2004•鹽城)如圖1,E為線段AB上一點,AB=4BE,以AE,BE為直徑在AB的同側(cè)作半圓,圓心分別為O1,O2,AC、BD分別是兩半圓的切線,C、D為切點.
(1)求證:AC=BD;
(2)現(xiàn)將半圓O2沿著線段BA向點A平移,如圖2,此時半圓O2的直徑E′B′在線段AB上,AC′是半圓O2的切線,C′是切點,當(dāng)為何值時,以A、C′、O2為頂點的三角形與△BDO1相似?

【答案】分析:(1)如果設(shè)⊙O1的半徑為R,⊙O2的半徑為r,那么根據(jù)AB=4BE,可知R=3r.連接O1D,O2C,那么O1B=5r,AO2=7r,可在直角△BO1D中求出BD的長,同理求出AC的長,即可得出AC,BD的比例關(guān)系;
(2)本題要分兩種情況進行討論:
①當(dāng)∠CAO2=∠B時,O2C,O1D和AO2,BO1分別對應(yīng)成比例.設(shè)AE′=kAB,那么可用k,r表示出AE′的長,然后代入比例關(guān)系式中即可求出k的值.
②當(dāng)∠CAO2=∠DO1B時,AO2,BO1和O2C,BD對應(yīng)成比例,然后按①的方法即可求出此時k的值.
解答:(1)證明:連接O1D,O2C,設(shè)⊙O1的半徑為R,⊙O2的半徑為r,
則R=3r
在直角三角形BO1D中
∵BO1=5r,O1D=3r
∴BD=4r,
同理可求得AC=4r
∴AC=BD;

(2)解:設(shè)AE′=kAB,因此AE′=8kr
①當(dāng)∠C′AO2=∠B時,,即
∴k=
②當(dāng)∠C′AO2=∠BO1D時,,即
∴k=,
時,以A、C′、O2為頂點的三角形與△BDO1相似.

點評:本題主要考查了勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點,要注意(2)中要按不同的相似三角形對應(yīng)的成比例線段是不同的,因此要分類討論.不要漏解.
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(2)根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù),求我國1998年~2002年教育經(jīng)費的年平均數(shù);
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