Question

已知，在△ABC中，AC＞AB，BC邊的垂直平分線與∠BAC的外角∠PAC的平分線相交于E，與BC相交點D，DE與AC相交于點F．

（1）如圖1，當∠ABC=3∠ACB時，求證：AB=AE；
（2）如圖2，當∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，過點D作AC的垂線，垂足為點H，并延長DH交射線AE于點M，過點E作BP的垂線，垂足為點G，點D₁是點D關(guān)于直線AC的對稱點，試探究AG和MD₁之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：四點共圓,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,正方形的判定與性質(zhì),圓周角定理,軸對稱的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接BF，如圖1．設(shè)∠ACB=x，則∠ABC=3x，由FD垂直平分BC得FB=FC，然后將∠ABF、∠AFB、∠AFE、∠AEF用x的式子表示，再根據(jù)等角對等邊就可解決問題．
（2）作EN⊥AC于N，取EC中點O，連接AD₁、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如圖2．易證四邊形EGAN是正方形，
則有AG=AN，∠EAN=45°，∠GEN=90°．易證Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），則有∠GBE=∠NCE，∠GEB=∠NEC，
從而可得∠GEN=∠BEC=90°，進而可得∠ECB=∠ECB=45°，然后根據(jù)條件可算出∠ABE=∠ACE=15°，∠AMC=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證到E，N，C，M四點共圓，然后根據(jù)圓周角定理可得∠EMN=∠ECN=15°，從而有∠MAD₁=∠EMN=15°，進而可證到△AMN≌△MAD₁，則有AN=MD₁，就可得到AG=MD₁．

解答：解：（1）證明：連接BF，如圖1．
設(shè)∠ACB=x，則∠ABC=3x，
∵FD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=x，
∴∠ABF=∠AFB=2x，
∴AB=AF，∠PAC=4x．
∵AE平分∠PAC，
∴∠EAC=2x．
∵∠AFE=∠DFC=90°-x，
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2x-（90°-x）=90°-x，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AB=AE．

（2）AG=MD₁．
證明：作EN⊥AC于N，取EC中點O，
連接AD₁、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如圖2．
∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，
∴EG=EN，∠EGA=∠ENA=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°，
∴四邊形EGAN是矩形．
∵EG=EN，∴矩形EGAN是正方形，
∴AG=AN，∠EAN=45°，∠GEN=90°．
∵ED垂直平分BC，∴EB=EC．
在Rt△BEG和Rt△CEN中，

EB=EC EG=EN

，
∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），
∴∠GBE=∠NCE，∠GEB=∠NEC，
∴∠GEN=∠BEC=90°
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°．
∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，
∴∠ABE=∠ACE=15°．
∵∠BAC=90°，點D為BC中點，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=30°．
∵點D與點D₁關(guān)于AC對稱，
∴∠D₁AC=∠DAC=30°，
∴∠MAD₁=45°-30°=15°．
∵DA=DC，DM⊥AC，
∴DM垂直平分AC，
∴MA=MC，
∴∠CMH=∠AMH=90°-45°=45°，
∴∠AMC=90°，
∴∠ENC=∠AMC=90°．
∵點O為EC中點，
∴ON=OM=OE=OC=

1

2

EC，
∴E、N、C、M四點共圓，
∴∠EMN=∠ECN=15°，
∴∠MAD₁=∠EMN=15°，
在△AMN和△MAD₁中，

∠MAD1=∠AMN AM=MA ∠AMD1=∠MAN=45°

，
∴△AMN≌△MAD₁，
∴AN=MD₁，
∴AG=MD₁．

點評：本題主要考查了四點共圓的判定、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，綜合性非常強，難度也比較大，而證明△AMN≌△MAD₁則是解決第（2）小題的關(guān)鍵．