【題目】如圖,在△ABC和△DEC中,∠ABC=∠DEC=90°,連接AD交射線EBF,AC∥DE,延長(zhǎng)CA交射線EB于點(diǎn)G,點(diǎn)F恰好是AD中點(diǎn)。

1)求證:△AFG≌△DFE;

2)若BC=CE,

①求證:∠ABF=∠DEF;

②若∠BAC=30°,試求∠AFG的度數(shù)。

【答案】1證明見(jiàn)解析2證明見(jiàn)解析②∠AFG=60°

【解析】試題分析:

1AG∥DE易得∠G=∠DEF;FAD的中點(diǎn)易得AF=DF,結(jié)合∠AFG=∠DFE,即可證得:△AGF≌△DEF

2BC=CE可得∠CBE=∠CEB,結(jié)合∠ABC=DEC=90°,易得∠ABF+∠CBE=90°,∠CEB+∠DEF=90°,從而可得∠ABF=∠DEF

AGF≌△DEF可得G=DEF,AG=DE結(jié)合ABF=DEF,可得ABF=G,從而可得AG=AB,這樣即可得到AB=DE,結(jié)合ABC=DEC=90°,BC=CE即可證得:ABC≌△DEC,由此可得AC=CD,EDC=BAC=30°,結(jié)合ACDE可得ACD=EDC=30°,從而可得CAD=;由∠BAC=G+ABG=30°結(jié)合∠G=ABG易得∠G=15°,結(jié)合∠CAD=G+AFG即可得到AFG=60°.

試題解析:

1∵AG∥DE,點(diǎn)FAD的中點(diǎn),

∴∠G=∠DEFAF=DF,

∵△AGF△DEF中,

,

∴△AGF≌△DEFAAS

2① ∵BC=CE,

∴∠CBE=∠CEB

∠ABC=DEC=90°,

∵∠ABF+∠CBE=90°,∠CEB+∠DEF=90°

∴∠ABF=∠DEF;

②∵△AGF≌△DEF,

∴∠G=∠DEF,

∵∠ABF=∠DEF

∴∠ABF=∠G,

∴AG=AB

∵△AGF≌△DEF,

∴AG=DE,

∴DE=AB,

∵△ABC△DEC中,

,

∴△ABC≌△DEC,(SAS

∴AC=CD,∠BAC=∠EDC,

∵AC∥DE,

∴∠EDC=∠ACD

∴∠ACD=∠BAC=30°,

∴∠CAD=75°,

∵∠ABF=∠G,∠BAC=30°

∴∠G=15°,

∵∠CAD=∠G+∠AFG,

∴∠AFG=60°.

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(1)畫(huà)出位似中心點(diǎn)O;

(2)直接寫(xiě)出ABC'的位似比;

(3)以位似中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,畫(huà)出A關(guān)于點(diǎn) O中心對(duì)稱的,并直接寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

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DEC∽△ABC,連結(jié)AD.試判斷ADBC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,以CE為邊在BC的同側(cè)作正方形ECGF.

①試說(shuō)明點(diǎn)G一定在AD的延長(zhǎng)線上;

②當(dāng)點(diǎn)EAB邊上由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)F隨之運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

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