Question

如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)BF和AF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)證明．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：證明題

分析：由直角三角形的性質(zhì)可得BF²=FC•AF，CF²=EF•BF，兩式可以推出BF與EF、AF的關(guān)系，然后代入EF與BF的關(guān)系式即可得證．

解答：解：∵BE⊥AC，∠ABC=∠AFB=90°，
∴△CFB∽△BFA，△CFE∽△BFC．
∴BF²=FC•AF，CF²=EF•BF．
∴BF²=

EF•BF

•AF．
即BF³=EF•AF²．
∵AB∥CD，E恰好是CD的中點(diǎn)，
∴CE：AB=EF：FB．
∴EF=

1

2

BF．
∴BF²=

1

2

AF²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)三角形相似得到對(duì)應(yīng)線段的比相等，從而解決問(wèn)題．