Question

如圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點， A點的坐標(biāo)為
（－1，0），過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB＝5t，且0＜t＜1.

【小題1】（1）填空：點C的坐標(biāo)是_       _，b＝_     _；
【小題2】（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
【小題3】（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【小題1】（1）（0，－3），b＝－.
【小題2】（2）由（1），得y＝x²－x－3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由題意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①當(dāng)H在Q、B之間時，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．··················································· 3分
②當(dāng)H在O、Q之間時，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．··················································· 4分
綜合①，②得QH＝｜4－8t｜；
【小題3】（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似．
①當(dāng)H在Q、B之間時，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．········································································· 5分
若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t²＋2t－1＝0．
∴t₁＝－1，t₂＝－－1（舍去）．······································· 6分
②當(dāng)H在O、Q之間時，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．········································································· 7分
若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t²－2t＋1＝0．
∴t₁＝t₂＝1（舍去）．····························································· 8分
綜上所述，存在的值，t₁＝－1，t₂＝，t₃＝．

解析