Question

如圖，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，聯(lián)結(jié)GD，判斷△AGD的形狀并證明．

Answer 1

解：判斷：△AGD是直角三角形．
證明：連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴HF∥AB，HF=AB，
∴∠1=∠3，
同理，HE∥CD，HE=CD，
∴∠2=∠EFC，
∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠EFC，
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等邊三角形，
∴AF=FG，
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°，
∴∠AGD=90°，
即△AGD是直角三角形．
分析：連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，利用中位線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，在△AFG中找到各角之間的關(guān)系，繼而可得△AGF是等邊三角形，推出∠AGD=90°即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)建立各角之間的關(guān)系．