Question

（1）觀察下列式子：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…
由此可以推測：

1

42

=

 

，

1

72

=

 

；
（2）請猜想出能表示出（1）的特點(diǎn)的一般規(guī)律，用含字母n的等式表示出來（n為正整數(shù)），并證明；
（3）請用（2）中的規(guī)律計(jì)算：

1

(x-2)(x-3)

-

2

(x-1)(x-3)

+

1

(x-1)(x-2)

．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：規(guī)律型

分析：（1）

1

42

可化為6與7的倒數(shù)之差；

1

72

可化為8與9的倒數(shù)之差；
（2）觀察（1）的各式，每個分?jǐn)?shù)的分母為兩個連續(xù)的整數(shù)之積，則這個分?jǐn)?shù)等于兩整數(shù)的倒數(shù)之差；
（3）利用（2）中規(guī)律展開得到原式=

1

x-2

-

1

x-3

-（

1

x-1

-

1

x-3

）+

1

x-1

-

1

x-2

，然后去括號合并即可．

解答：解：（1）

1

42

=

1

6×7

=

1

6

-

1

7

；

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

．
故答案為

1

42

=

1

6

-

1

7

；

1

72

=

1

8

-

1

9

；
（2）一般規(guī)律為

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n≥1的整數(shù)）．
證明：

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；
（3）原式=

1

x-2

-

1

x-3

-（

1

x-1

-

1

x-3

）+

1

x-1

-

1

x-2

=

1

x-2

-

1

x-3

-

1

x-1

+

1

x-3

+

1

x-1

-

1

x-2

=0

點(diǎn)評：通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．