【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O(shè)為直角頂點的三角板,移動三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于M,N.

(1如圖1,若點O與點A重合,則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是__________________;

(2如圖2,若點O正方形的中心(即兩對角線的交點,則(1中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由

(3如圖3,若點O在正方形的內(nèi)部(含邊界,當(dāng)OM=ON時,請?zhí)骄奎cO在移動過程中可形成什么圖形?

(4如圖4是點O在正方形外部的一種情況.當(dāng)OM=ON時,請你就“點O的位置在各種情況下(含外部移動所形成的圖形”提出一個正確的結(jié)論.(不必說理

【答案】(1OM=ON;(2OM=ON仍成立;(3點O在正方形內(nèi)(含邊界移動所形成的圖形是對角線AC;(4所形成的圖形為直線AC.

【解析】

試題分析:(1根據(jù)△OBM與△ODN全等,可以得出OM與ON相等的數(shù)量關(guān)系;

(2連接AC、BD,則通過判定△BOM≌△CON,可以得到OM=ON;

(3過點O作OE⊥BC,作OF⊥CD,可以通過判定△MOE≌△NOF,得出OE=OF,進而發(fā)現(xiàn)點O在∠C的平分線上;

(4可以運用(3中作輔助線的方法,判定三角形全等并得出結(jié)論.

試題解析:(1若點O與點A重合,則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是:OM=ON;

(2仍成立.

證明:如圖2,連接AC、BD.

由正方形ABCD可得,∠BOC=90°,BO=CO,∠OBM=∠OCN=45°.∵∠MON=90°∴∠BOM=∠CON,在△BOM和△CON中,∵∠OBM=OCN,BO=CO,BOM=CON,∴△BOM≌△CON(ASA,∴OM=ON

(3如圖3,過點O作OE⊥BC,作OF⊥CD,垂足分別為E、F,則∠OEM=∠OFN=90°又∵∠C=90°,∠EOF=90°=∠MON,∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中,∵∠OEM=OFN,MOE=NOF,OM=ON,∴△MOE≌△NOF(AAS,∴OE=OF

又∵OE⊥BC,OF⊥CD,∴點O在∠C的平分線上,∴O在移動過程中可形成線段AC;

(4O在移動過程中可形成直線AC.

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