Question

正整數(shù)系數(shù)二次方程ax²+bx+c=0有有理數(shù)根，則a，b，c中（　�。�

• A、至少有一個(gè)偶數(shù)
• B、至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)
• C、至少有一個(gè)奇數(shù)
• D、至少有一個(gè)合數(shù)

Answer 1

分析：設(shè)△=b²-4ac=m²，m是整數(shù)．先假設(shè)a，b，c全為奇數(shù)，令b=2n+1，ac=2k+1，然后變形△，得到8的倍數(shù)減3，這與奇數(shù)m的平方是8的倍數(shù)加1矛盾，得到A對(duì)；再通過(guò)特例否定B，C，D．

解答：解：A、因判別式△=b²-4ac=m²，m是整數(shù)．若a，b，c全為奇數(shù)，則ac和m也為奇數(shù)．令b=2n+1，
ac=2k+1，則△=8[

n(n+1)

2

-k]-3，這與奇數(shù)m的平方是8的倍數(shù)加1矛盾．則a，b，c全為奇數(shù)不成立，
所以A對(duì)．
B、方程4x²+8x+4=0有有理數(shù)根，則B錯(cuò)；
C、方程2x²+4x+2=0有有理數(shù)根，則C錯(cuò)；
D、方程3x²+5x+2=0有有理數(shù)根，則D錯(cuò)；
故答案為A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△為完全平方數(shù)時(shí)，方程有有理數(shù)根．同時(shí)考查了奇數(shù)，偶數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義．