Question

（2012•和平區(qū)三模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C）．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)AB∥CB₁時(shí)，旋轉(zhuǎn)角θ=

30

（度）；
（Ⅱ）如圖②，取AC的中點(diǎn)E，A₁B₁的中點(diǎn)P，連接EP，已知AC=a，當(dāng)θ=

120

（度）時(shí)，EP的長度最大，最大值為

3a

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BCB₁=∠ABC，然后根據(jù)對應(yīng)邊BC和B₁C的夾角為旋轉(zhuǎn)角解答；
（Ⅱ）連接CP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CP=A₁P，然后求出△A₁CP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A₁CP=60°，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得CE+CP＞EP，從而判斷出當(dāng)點(diǎn)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)EP最大，然后根據(jù)平角等于180°進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（Ⅰ）∵AB∥CB₁，∠ABC=30°，
∴∠BCB₁=∠ABC=30°，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠BCB₁=30°；

（Ⅱ）∵P為A₁B₁的中點(diǎn)，
∴CP=A₁P，
∵∠ABC=30°，
∴∠B₁=∠B=30°，
∴∠A₁=90°-∠B₁=90°-30°=60°，
∴△A₁CP是等邊三角形，
∴∠A₁CP=60°，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，CE+CP＞EP，
∴當(dāng)點(diǎn)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)EP最大，最大為EP=CE+CP，
此時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為180°-∠A₁CP=180°-60°=120°，
∵AC=a，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴EP=

1

2

a+a=

3a

2

．
故答案為：30；120，

3a

2

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并判斷出點(diǎn)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)EP最大是解題的關(guān)鍵．