Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（-4，0），點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)度都是方程x²-3x+2=0的解，且OB＞OA．若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP．
（1）判斷三角形ABC的形狀并求出△AOP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒的函數(shù)關(guān)系式．
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，利用備用圖1探究，求△AOP周長(zhǎng)最短時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，利用備用圖2探究，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先解方程x²-3x+2=0，得出AO=1，0B=2，再由OB²=OA•OC=4，即

OA

OB

=

OB

OC

，又∠AOB=∠BOC=90°，得到△AOB∽△BOC，則∠ABO=∠BCO，證明∠ABC=90°，判斷出△ABC為直角三角形．作PD⊥AC于D．由PD∥OB，得出△CDP∽△COB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PD=

5 t

5

，然后根據(jù)S_△AOP=

1

2

OA•PD即可得到△AOP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由于OA=1為定值，所以O(shè)P+AP最小時(shí)，△AOP周長(zhǎng)最短．由（1）知∠ABC=90°，那么延長(zhǎng)AB至點(diǎn)A′，使BA′=AB，則A′與A關(guān)于BC對(duì)稱，連結(jié)A′O，交BC于點(diǎn)P，此時(shí)△AOP周長(zhǎng)最短．求出OA′的解析式，與直線BC的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)

BP

OB

=

AB

OA

時(shí)，△ABP∽△AOB；②當(dāng)

BP

OA

=

AB

OB

時(shí)，△ABP∽△BOA，分別求出BP的長(zhǎng)，再分點(diǎn)P在線段BC與線段CB的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵x²-3x+2=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x₁=1，x₂=2，
∴AO=1，0B=2．
∵OC=4，
∴OB²=OA•OC=4，
∴

OA

OB

=

OB

OC

，
又∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC為直角三角形．
如圖，作PD⊥AC于D．
∵PC=t，PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴

PD

OB

=

CP

CB

，
∴PD=

OB•CP

CB

=

2t

2 5

=

5 t

5

，
∴S_△AOP=

1

2

OA•PD=

1

2

×1×

5 t

5

=

5

10

t，
即S=

5

10

t；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（0，2），C（-4，0），
∴

b=2 -4k+b=0

，解得

k= 1 2 b=2

，
∴y=

1

2

x+2．
延長(zhǎng)AB至點(diǎn)A′，使BA′=AB，連結(jié)A′O，交BC于點(diǎn)P，此時(shí)△AOP周長(zhǎng)最短．
∵A′與A關(guān)于BC對(duì)稱，
∴B是AA′的中點(diǎn)，
∵B（0，2），A（1，0），
∴A′（-1，4）．
易求OA′的解析式為y=-4x，
由

y=-4x y= 1 2 x+2

，解得：

x=- 4 9 y= 16 9

，
∵S=

1

2

×1×

16

9

=

8

9

，
∴

5

10

t=

8

9

，
∴t=

16 5

9

；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在點(diǎn)P，能夠使以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．
分兩種情況：
①當(dāng)

BP

OB

=

AB

OA

時(shí)，△ABP∽△AOB，
則

BP

2

=

5

1

，解得BP=2

5

．
如果點(diǎn)P在線段BC上，那么CP=BC-BP=2

5

-2

5

=0，此時(shí)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即P₁（-4，0）；
如果點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，那么CP=CB+BP=2

5

+2

5

=4

5

，易求P₂（4，4）；
②當(dāng)

BP

OA

=

AB

OB

時(shí)，△ABP∽△BOA，
則

BP

1

=

5

2

，解得BP=

5

2

．
如果點(diǎn)P在線段BC上，易求P₃（-1，

3

2

），
如果點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，易求P₄（1，

5

2

）．
綜上所述，所求P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（-4，0），P₂（4，4），P₃（-1，

3

2

），P₄（1，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．