如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)
分析:(1)已知了拋物線上三點的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)已知了B、C的坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式.
(3)由于三角形ABC和三角形PAB的面積相等,根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比,可得出P點縱坐標(biāo)的絕對值.可將其代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標(biāo).
(4)本題分三種情況,如下圖:
①OQ=QB,此時Q在OB的垂直平分線上,因此Q點橫坐標(biāo)為B點橫坐標(biāo)的一半,然后可代入直線BC的解析式中求出Q點坐標(biāo).
②OQ=OB,此時可根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出Q點坐標(biāo),然后用坐標(biāo)系兩點間距離公式表示出OQ的長,然后根據(jù)OB的長求出Q點坐標(biāo).
③OB=BQ,解法同②.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-4),精英家教網(wǎng)
已知拋物線過C(0,3),則有:
3=a(0+1)(0-4),a=-
3
4

∴拋物線的解析式為y=-
3
4
x2+
9
4
x+3

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,
已知直線BC過B(4,0),則有:
4k+3=0,k=-
3
4

∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-
3
4
x+3

(3)存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積
∵△ABC的底邊AB上的高為3
設(shè)△PAB的高為h,則|h|=3,則點P的縱坐標(biāo)為3或-3
∴當(dāng)3=-
3
4
x2+
9
4
x+3時,
得x=0,x=3;
∴點P的坐標(biāo)為(0,3),(3,3),而點(0,3)與C點重合,故舍去.
當(dāng)-3=-
3
4
x2+
9
4
x+3,
得x=
3+
41
2
,x=
3-
41
2

∴點P的坐標(biāo)為:P1(3,3),P2
3+
41
2
,-3),P3
3-
41
2
,-3)

(4)Q1(2,
3
2
),Q2
36
5
-
12
5
),Q3
4
5
12
5
),Q4-
28
25
96
25
).
點評:本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點P,使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離?如果存在,求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)點M是直線CD上的一動點,BM交拋物線于N,是否存在點N是線段BM的中點,如果存在,求出點N的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-1,0),與y軸交于點C(0,3),且對稱軸方程為x=1
(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)若點M是拋物線上一點,以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-1,0),E(3,0),與y軸交于點B,且該精英家教網(wǎng)函數(shù)的最大值是4.
(1)拋物線的頂點坐標(biāo)是(
 
,
 
);
(2)求該拋物線的解析式和B點的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線頂點是D,求四邊形AEDB的面積;
(4)若拋物線y=mx2+nx+p與上圖中的拋物線關(guān)于x軸對稱,請直接寫出m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•株洲)如圖,已知拋物線與x軸的一個交點A(1,0),對稱軸是x=-1,則該拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線,交直線CD于點F,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點G,使以點G、F、C為頂點的三角形與△COE相似,請直接寫出符合要求的,并在第一象限的點G的坐標(biāo);
(3)將拋物線沿其對稱軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點.試探究:拋物線向上最多可平移多少個單位長度?

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