Question

如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，BA•BD=BC•BE．
（1）求證：AE=AD；
（2）如果點(diǎn)F在BD上，CF=CD，求證：BD²=BE•BF．

Answer 1

分析：（1）先把乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，再根據(jù)BD平分∠ABC得∠ABE=∠CBD，然后證明△ABE與△CBD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到∠ADE=∠AED，再利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)CF=CD，利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠CDF=∠CFD，再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠BDA=∠BFC，然后證明△BDA與△BFC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例有

BA

BC

=

BD

BF

，再與

BA

BC

=

BE

BD

聯(lián)立可得

BD

BF

=

BE

BD

，然后把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式即可．

解答：證明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴

BA

BC

=

BE

BD

，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴180°-∠CDF=180°-∠CFD，
即∠BDA=∠BFC，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△BDA∽△BFC，
∴

BA

BC

=

BD

BF

，
又∵

BA

BC

=

BE

BD

，
∴

BD

BF

=

BE

BD

，
∴BD²=BE•BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把乘積式轉(zhuǎn)化為比例式是證明三角形相似的關(guān)鍵，（2）中證明比例式通常都是通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式然后再把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，也是常用的方法，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．