如圖,已知拋物線y=a(x-1)2+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),拋物線的頂點(diǎn)為D,過O作射線OM∥AD.過頂點(diǎn)平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C,B在x軸正半軸上,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s).問當(dāng)t為何值時,四邊形DAOP分別為平行四邊形,直角梯形,等腰梯形?
(3)若OC=OB,動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時出發(fā),分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動,當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)它們的運(yùn)動的時間為t(s),連接PQ,當(dāng)t為何值時,四邊形BCPQ的面積最。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭rPQ的長.

【答案】分析:(1)將A的坐標(biāo)代入拋物線y=a(x-1)2+3(a≠0)可得a的值,即可得到拋物線的解析式;
(2)易得D的坐標(biāo),過D作DN⊥OB于N;進(jìn)而可得DN、AN、AD的長,根據(jù)平行四邊形,直角梯形,等腰梯形的性質(zhì),用t將其中的關(guān)系表示出來,并求解可得答案;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,易得△OCB是等邊三角形,可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式,將四邊形的面積用t表示出來,進(jìn)而分析可得最小值及此時t的值,進(jìn)而可求得PQ的長.
解答:解:(1)∵拋物線y=a(x-1)2+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),
∴0=9a+3,
∴a=-(1分)
∴二次函數(shù)的解析式為:y=-x2+x+;(3分)

(2)①∵D為拋物線的頂點(diǎn),
∴D(1,3),
過D作DN⊥OB于N,則DN=3,AN=3,
∴AD==6,
∴∠DAO=60°.(4分)
∵OM∥AD,
①當(dāng)AD=OP時,四邊形DAOP是平行四邊形,
∴OP=6,
∴t=6(s).(5分)
②當(dāng)DP⊥OM時,四邊形DAOP是直角梯形,
過O作OH⊥AD于H,AO=2,則AH=1(如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA(求AH=1)
∴OP=DH=5,t=5(s)(6分)
③當(dāng)PD=OA時,四邊形DAOP是等腰梯形,
易證:△AOH≌△DPP′,
∴AH=CP,
∴OP=AD-2AH=6-2=4,
∴t=4(s)綜上所述:當(dāng)t=6、5、4時,對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形;(7分)

(3)由(2)及已知,∠COB=60°,OC=OB,△OCB是等邊三角形則OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,
∴OQ=6-2t(0<t<3)過P作PE⊥OQ于E,
則PE=t(8分)
∴SBCPQ=×6×3×(6-2t)×t
=(t-2+(9分)
當(dāng)t=時,四邊形BCPQ的面積最小值為.(10分)
∴此時OQ=3,OP=,OE=;
∴QE=3-=,PE=,
∴PQ=.(11分)
點(diǎn)評:本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(4)點(diǎn)Q是直線BC上的一個動點(diǎn),若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,并求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動,同時動點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動,過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
①當(dāng)t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn),若△PAB∽△OBC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點(diǎn),且y1>y2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點(diǎn)M、交拋物線于點(diǎn)N,求線段MN的長度的最大值;
(4)若以拋物線上的點(diǎn)P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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同步練習(xí)冊答案