Question

一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km．現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點(diǎn)，每個點(diǎn)安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市．問：

（1）能否找到這樣的4個安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？

（2）至少需要選擇多少個安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？

答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用）

       圖1                圖2                   圖3                 圖4

 

Answer 1

【答案】

解：（1）將圖1中的正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個小正方形對角線的交點(diǎn)處，此時，每個小正方形的對角線長為，每個轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個小正方形區(qū)域，故安裝4個這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求．（圖案設(shè)計(jì)不唯一）

（2）將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得．

將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點(diǎn)處，設(shè)，則，．

由，得，

，，

即如此安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．

或：將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得，是的中點(diǎn)，將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點(diǎn)處，則，，

，即如此安裝三個這個轉(zhuǎn)發(fā)裝置，能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．

要用兩個圓覆蓋一個正方形，則一個圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個頂點(diǎn)．如圖3，用一個直徑為31的去覆蓋邊長為30的正方形，設(shè)經(jīng)過，與交于，連，則，這說明用兩個直徑都為31的圓不能完全覆蓋正方形．

所以，至少要安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．

【解析】（1）可把正方形分割為四個全等的正方形，作出這些正方形的對角線，把裝置放在交點(diǎn)處，交點(diǎn)到其余各個小正方形頂點(diǎn)的距離相等通過計(jì)算看是否適合；

（2）由（1）得到啟示，把正方形分割為三個長方形，左邊的一個矩形的對角線是能輻射的最大直徑31，看能否把三個裝置放在三個長方形的對角線的交點(diǎn)處．