(2010•武漢模擬)如圖,P為正方形ABCD邊BC上任一點(diǎn),BG⊥AP于點(diǎn)G,在AP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AG=GE,連接BE,CE.
(1)求證:BE=BC;
(2)∠CBE的平分線交AE于N點(diǎn),連接DN,求證:
(3)若正方形的邊長(zhǎng)為2,當(dāng)P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)為______
【答案】分析:(1)BG垂直平分線段AE,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等,AB=BE,又AB=BC,所以BE=BC;
(2)標(biāo)準(zhǔn)答案上僅用等腰三角形和直角三角形通過∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB,得出Rt△BPG是等腰直角三角形,進(jìn)而得到,AM=GN;
(3)先求出BG的長(zhǎng)度,根據(jù)P為BC的中點(diǎn),CN=BG,再根據(jù)△CNE為等腰直角三角形即可求出CE的長(zhǎng)度.
解答:(1)證明:∵BG⊥AP,AG=GE,
∴BG垂直平分線段AE,
∴AB=BE,
在正方形ABCD中,AB=BC,
∴BE=BC;

(2)證明:連接CN,延長(zhǎng)BN交CE于H.
自點(diǎn)D作DM⊥AN于M,

顯然Rt△ADM≌Rt△ABG,DM=AG,
∵BN平分∠CBE,∴CH=HE,
∵∠CBN=∠EBN,BE=BC,BN=BN,
∴△BCN≌△BEN,
∴CN=NE,△CEN是等腰三角形,
延長(zhǎng)AE交DC延長(zhǎng)線于F,則有:∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN,
A,B,C,D,N五點(diǎn)共圓,∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對(duì)圓周角=45°]
Rt△DMN,Rt△BGN都是等腰直角三角形,DM=AG=DN,GN=BN,AG+GN=AN=BN+DN;

(3)根據(jù)勾股定理,AP===
∴BG==,
∵BP=PC,∠BGP=∠CNP=90°,
∴△BPG≌△CNP(AAS),
∴CN=BG,
∴CE=CN=×=
點(diǎn)評(píng):本題綜合性較強(qiáng),主要利用線段垂直平分線段判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,綜合運(yùn)用各定理和性質(zhì),并分析題目用已知條件和所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵,準(zhǔn)確作出輔助線對(duì)解決本題非常重要,需要同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷提高自我并完善各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,本題難度較大.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)Q在拋物線上,且有△AQC和△BQC面積相等,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)P為△AOC外接圓上的中點(diǎn),直線PC交x軸于D,∠EDF=∠ACO.當(dāng)∠EDF繞D旋轉(zhuǎn)時(shí),DE交AC于M,DF交y軸負(fù)半軸于N、問CN-CM的值是否發(fā)生變化?若不變,求出其值;若變化,求出變化范圍.

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