Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，M是軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M與軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，A在B的左側(cè)，且OA、OB的長是方程的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點(diǎn)，N在第四象限．

（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在軸上是否存在一點(diǎn)T，使△OTN是等腰三角形？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

詳見解析.

試題分析：（1）由因式分解求出方程的解，確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的長度即⊙M的直徑.
（2）如下圖：求直線ON的解析式，必須求出點(diǎn)N的坐標(biāo).因此可過點(diǎn)N作NP⊥AB于點(diǎn)P，連接MN，運(yùn)用勾股定理F分別求出ON的長度，進(jìn)而利用面積求出NP的長度，即點(diǎn)N縱坐標(biāo)的絕對值；再次運(yùn)用勾股定理確定OP的長度，即點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的絕對值.結(jié)合點(diǎn)N位于第四象限確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線ON的解析式.
（3）求是否存在點(diǎn)T使ΔOTN為等腰三角形，應(yīng)分類討論：即①當(dāng)ON是等腰三角形的底邊時(shí),則點(diǎn)T應(yīng)在ON的垂直平分線上，利用平行線分線段成比例定理或相似三角形求解；②當(dāng)ON是腰且點(diǎn)O是頂點(diǎn)時(shí),即以點(diǎn)O為圓心、以O(shè)N為半徑作圓與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)T；③當(dāng)ON是腰且點(diǎn)N是頂點(diǎn)時(shí)，即以點(diǎn)N為圓心、以O(shè)N為半徑作圓與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)T.
試題解析：
解：（1）由得

，
由圖可知,
∴OA=1,OB=3
∴OB-OA=3-1=2
∴⊙M的直徑等于2
（2）如下圖，連結(jié)MN，過點(diǎn)N作NP⊥軸于P，過點(diǎn)N作NQ⊥軸于Q
∵ON是⊙M的切線
∴ON⊥MN且MN=AB=1
在Rt△OMN中，

在Rt△OPN中，
∵點(diǎn)N在第四象限
∴N（，）
設(shè)直線ON的函數(shù)關(guān)系式為
把N（，）代入得：

∴

（3）存在，應(yīng)分三種情況討論：
①如圖（1）當(dāng)是等腰三角形的底邊時(shí)，頂點(diǎn)在的垂直平分線上.
∵ON⊥MN,
∴
∵
∴，即
②如圖（2），當(dāng)ON是腰且點(diǎn)O是頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，ON的長為半徑作圓，交軸于和兩點(diǎn).
∴，
∴、
③如圖（3），當(dāng)ON是腰且點(diǎn)N是頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)N為圓心，ON的長為半徑作圓，交軸于點(diǎn).則，
∴
綜上所述，在軸上存在四個(gè)點(diǎn)，使△OTN是等腰三角形，分別是、、、．