Question

如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的中點．
（1）求證：四邊形ADEF是菱形；
（2）若AB=13，BC=10，求四邊形ADEF的面積．

Answer 1

考點：菱形的判定,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）利用三角形中位線定理判定四邊形ADEF是菱形；
（2）菱形ADEF的面積等于該菱形兩對角線乘積的一半．

解答：（1）證明：∵D、E、F分別為AB、BC、CA上的中點．
∴DE

∥

.

1

2

AC，EF

∥

.

1

2

AB，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．
又∵AB=AC，
∴DE=EF，
∴平行四邊形ADEF的菱形；

（2）如圖，連接AE、DF交于點O．
∵四邊形ADEF是菱形，
∴AE⊥DF，OA=

1

2

AE，OD=

1

2

DF．
∵AD=

1

2

AB=

13

2

，DF=

1

2

BC=5，
∴在直角△ADO中，由勾股定理知OA=

AD2-OD2

=

( 13 2 )2-( 5 2 )2

=6，
∴AE=2OA=12，
∴菱形ADEF的面積=

1

2

DF•AE=

1

2

×5×12=30，即四邊形ADEF的面積是30．

點評：本題考查了勾股定理、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．菱形是鄰邊相等的平行四邊形．