Question

（2013•大連一模）如圖，直線l₁：y=4x與直線l2：y=-

4

3

x+

20

3

相交于點A，l₂與x軸相交于點B，OC⊥l₂，AD⊥y軸，垂足分別為C、D．動點P以每秒1個單位長度的速度從原點O出發(fā)沿線段OC向點C勻速運動，連接DP．設點P的運動時間為t（秒），DP²=S（單位長度²）．
（1）求點A的坐標；
（2）求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）在點P的運動過程中，DP能否為4

2

？若能，求出此時的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線l₁：y=4x與直線l₂：y=-

4

3

x+

20

3

相交于點A，聯(lián)立可得方程組：

y=4x y=- 4 3 x+ 20 3

，解此方程組即可求得點A的坐標；
（2）由OC⊥l₂，即可求得直線OC的解析式，由OP=t，即可求得點P的坐標，由兩點式，即可求得DP²的值，聯(lián)立直線OC與直線l₂：y=-

4

3

x+

20

3

，即可求得點C的坐標，即可求得OC的長，即可得t的取值范圍；
（3）由DP=4

2

與（2）中S與t的函數(shù)關系式，可得方程S=t²-6t+25=32，解此方程，又由0≤t≤4，即可判定點P的運動過程中DP不能為4

2

．

解答：解：（1）∵直線l₁：y=4x與直線l₂：y=-

4

3

x+

20

3

相交于點A，
∴可得方程組：

y=4x y=- 4 3 x+ 20 3

，
解得：

x= 5 4 y=5

，
∴點A的坐標為（

5

4

，5）；

（2）∵點A的坐標為（

5

4

，5），
∴D（0，5），
∵OC⊥l₂，直線l₂的斜率為-

4

3

，
∴直線OC的斜率為

3

4

，
∴直線OC的解析式為：y=

3

4

x，
聯(lián)立直線OC與直線l₂：y=-

4

3

x+

20

3

，可得方程組：

y= 3 4 x y=- 4 3 x+ 20 3

，
解得：

x= 16 5 y= 12 5

，
∴點C的坐標為（

16

5

，

12

5

），
∴OC=

( 16 5 )2+( 12 5 )2

=4，
∵OP=t（0≤OP≤OC），
過點P作PE⊥OB于E，
∵tan∠POE=

3

4

，
∴cos∠POE=

4

5

，sin∠POE=

3

5

，
∴P點的坐標為（

4

5

t，

3

5

t），
∴DP²=（

4

5

t-0）²+（

3

5

t-5）²=t²-6t+25，
∴S與t的函數(shù)關系為S=t²-6t+25（0≤t≤4）；

（3）不能；
理由：若DP=4

2

，
則S=DP²=（4

2

）²=32，
即S=t²-6t+25=32，
解得：t=7或t=-1（舍去），
∵0≤t≤4，
∴t=7不符合題意，
∴點P的運動過程中DP不能為4

2

．

點評：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式，兩點式、函數(shù)交點問題以及方程組的解法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．