Question

求最小的自然數(shù)，它的各位數(shù)字之和等于56，它的最末兩位是56，它本身還能被56整除．

Answer 1

分析：假設(shè)所求的這個最小的自然數(shù)的前幾位數(shù)為a，則這個數(shù)可表示為

.

a56

，即100a+56．先根據(jù)整除的性質(zhì)得出a能被14整除，a為偶數(shù)，再根據(jù)這個數(shù)的各位數(shù)字之和等于56，它的最末兩位是56，得出a最小為六位數(shù)，然后由

.

a56

是最小的自然數(shù)，分a的首位數(shù)字為1，2，…，依次討論，即可求解．

解答：解：假設(shè)所求數(shù)的前幾位數(shù)為a，則這個數(shù)可表示為

.

a56

，即100a+56．
∵

.

a56

-56=

.

a00

，

.

a56

能被56整除，56能被56整除，
∴

.

a00

能被56整除，而

.

a00

=a×100，
設(shè)a×100=56k（k為整數(shù)），則a×25=14k，
∴a能被14整除，a為偶數(shù)．
∵

.

a56

的各位數(shù)字之和等于56，最末二位數(shù)字之和為5+6=11，而56-11=45，
∴前幾位數(shù)字之和為45，
∵99999的各位數(shù)字相加為45，而99999不是偶數(shù)，
∴a＞99999，a最小為六位數(shù)．
如果a的首位數(shù)字為1，則滿足數(shù)字和為45的偶數(shù)只有一個：199998，不能被14整除；如果a的首位數(shù)字為2，則滿足數(shù)字和為45的偶數(shù)從小到大依次為：289998，298998，299898，299988，
其中，可以被14整除的最小的數(shù)是：298998，
故所求的數(shù)字是：29899856．

點評：本題考查了數(shù)的整除性問題，屬于競賽題型，有一定難度．根據(jù)整除的性質(zhì)得出a能被14整除，a為偶數(shù)是解題的關(guān)鍵．