Question

5、已知如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，O₂O₁，O₁O₂的延長線分別交⊙O₁于點C，交⊙O₂于點F，CA、CB的延長線交⊙O₂于D、E，連接EF、DF．求證：DF=EF．

Answer 1

分析：可通過證三角形CDF和CEF來求解．已知的條件只有一條公共邊，那么我們可連接AB，作O₂M⊥AD，O₂N⊥BE，則CF就垂直平分AB，因此∠DAB=∠ECF，那么根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得出AD弦和BE弦的弦心距就相等，因此AD=BE，則CD=CE至此三角形全等的所有條件就都證出來了．

解答：證明：連接AB，作O₂M⊥AD，O₂N⊥BE，垂足為MN，
∵⊙O_1、⊙O₂相交于A、B，
∴CF垂直平分AB．
∴∠DCF=∠ECF，AC=BC．
∵O₂M⊥AD，O₂N⊥BE，
∴O₂M=O₂N．
∴AD=BE．
∵AC=BC，
∴CD=CE．
∵CF=CF，
∴△CDF≌△CEF．
∴DF=EF．

點評：本題考查了垂徑定理，全等三角形的判定等知識點，要判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．