Question

如圖，D，E是等邊△ABC兩邊上的兩個(gè)點(diǎn)，且AE=CD，連接BE，與AD交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥AD于Q，
（1）求∠BPD的大小；
（2）若PQ=4，PE=2，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）易證△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，根據(jù)∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，即可求得∠APE=∠ABC，即可解題；
（2）由（1）中∠BPD=60°，可得∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，由PQ的長可得BP的長，再由線段的轉(zhuǎn)化，即可求解．

解答：解：（1）∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，即∠BPD的度數(shù)為60°；

（2）在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=4，
∴BP=2PQ=8，
又∵PE=2，
∴BE=BP+PE=10．
∵由（1）知，△ABD≌△BCE，
∴AD=BE=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠APE=∠ABC是解題的關(guān)鍵．