Question

已知四邊形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，且2a＞b．求cos∠DBA的值．

Answer 1

解：以A為圓心，以a為半徑作圓．延長BA交⊙A于E點，連接ED；
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；
∵AC=AD，∴∠DCA=∠CDA，
∴∠DAE=∠CAB；
在△ABC和△DAE中，；
∴△CAB≌△DAE，
∴ED=BC=b
∵BE是直徑，
∴∠EDB=90°
在Rt△EDB中，
ED=b，BE=2a，
由勾股定理得ED²+BD²=BE²
∴
∴．
分析：欲求∠DBA的余弦值，需將已知條件構(gòu)建到一個直角三角形中求解；已知四邊形ABCD中，AB=AC=AD；若以A為圓心，AB為半徑作圓，則此圓必過C、D；延長BA交⊙A于E，則BE為⊙A的直徑，連接DE，在Rt△BDE中，已知了BE=2a，需求出BD的長；根據(jù)DC∥AB，易證得DE=BC=b，則根據(jù)勾股定理即可求得BD的長，由此得解．
點評：此題主要考查了圓周角定理、勾股定理以及全等三角形的判定；能夠通過輔助線構(gòu)建出⊙A是解答本題的關(guān)鍵．