Question

如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，DE=DA，∠EDP的平分線交EP于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作FD的垂線交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：EF=DG；
（2）連接BD交AP于點(diǎn)H，BH：HD=4：3，連接CE，若△CDE的面積為7，求DG長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△AGD≌△DIE，進(jìn)而得出GD=IE，再利用正方形的性質(zhì)得出∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，即可得出答案；
（2）首先證明△ABH∽△PDH得出==，進(jìn)而得出△ADP∽△ENP，利用=，得出NE=x，由△CDE的面積為7，求出x，即可得出DG的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：如圖1，
過(guò)點(diǎn)E作EI⊥GF于點(diǎn)I，
∵AG⊥GF，
∴∠G=∠DIE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠DAG+∠GDA=∠PDF+∠GDA=90°，
∴∠DAG=∠PDF，
∵∠EDP的平分線交EP于點(diǎn)F，
∴∠PDF=∠IDE，
∴∠DAG=∠IDE，
∵在△AGD和△DIE中
，
∴△AGD≌△DIE（AAS），
∴GD=IE，
在△ADE中，∠DAE+∠DEA+∠ADP+∠PDF+∠FDE=180°，
∵∠DAE=∠DEA，∠PDF=∠FDE，∠ADP=90°，
∴∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，
∴∠EF=IE，
∴EF=DG；

（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AP于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CD于N，
在正方形ABCD中，∵DP∥AB，
∴∠BAH=∠DPH，∠ABH=∠PDH，
∴△ABH∽△PDH，
∴==，
設(shè)DP=3x，則AB=AD=DC=DE=4x，
在Rt△ADP中，AP==5x，
∵S_△ADP==，
∴DM=x，
∴在Rt△DMP中，MP=x，
∵tan∠DAP=，
∠DAE=∠DEA，
∴在Rt△DNE中，ME=x，
∴EF=x-x=x，PE=x-x=x，
∵∠ADP=∠ENP=90°，∠APD=∠EPN，
∴△ADP∽△ENP，
∴=，
∴NE=x，
∵△CDE的面積為7，
∴=7，
∴=7，
∴x=，
∴EF=，
∵EF=DG，
∴DG=1．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確利用數(shù)形結(jié)合得出△ADP∽△ENP進(jìn)而表示出NE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．