Question

己知Rt△ABC的兩個(gè)銳角A、B的正切值恰好是關(guān)于x的一元二次方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=0的兩個(gè)根，求m的值．

Answer 1

解：∵∠A、∠B為Rt△ABC的兩個(gè)銳角，
∴tanA＞0，tanB＞0，且tanA•tanB=1．
又∵tanA、tanB是方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=0的兩個(gè)根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：tanA•tanB=，
∴．
解得m₁=-1，m₂=2．
當(dāng)m=-1時(shí)，tanA+tanB=-11＜0，
這與tanA＞0，tanB＞0相矛盾，所以m=-1不合題意，舍去；
當(dāng)m=2時(shí)，tanA+tanB=＞0．
又△＞0，
∴m=2．
分析：因?yàn)镽t△ABC的∠A、∠B兩個(gè)角為銳角，所以其正切值都大于零．根據(jù)正切值的定義和已知條件可知，銳角A、B的正切值之積為1，又因?yàn)殇J角A、B的正切值之積正好等于一元二次方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=O的兩根之積，由此得到關(guān)于m的方程，從而可以求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：解答此題時(shí)一定要注意兩個(gè)銳角的正切值都大于零，且注意兩角互余時(shí)，兩角的正切值之積為1，同時(shí)也要檢驗(yàn)判別式．