Question

（2013•長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-3，0）且sin∠ABO=

3

5

，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，C（-1，0）．
（1）求直線AB和拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D（2，0），在直線AB上有點(diǎn)P，使得△ABO和△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，以A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫⊙A，再以D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫⊙D，判斷⊙A和⊙D的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)sin∠ABO的值求出AB、OB的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式及拋物線解析式；
（2）根據(jù)（1）求出的直線AB的解析式，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

4

3

x+4），①△ABO∽△APD，②△ABO∽△ADP，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（2）的答案，求出每種情況下的圓心距，繼而可判斷⊙A和⊙D的位置關(guān)系．

解答：解：（1）在Rt△ABO中 sin∠ABO=

OA

AB

=

3

5

，
∵OA=3，
∴AB=5
則OB=

AB2-OA2

=4，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，4），
設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b（k≠0），
將A（-3，0）、B（0，4）代入得

-3k+b=0 b=4

，
解得：

k= 4 3 b=4

，
∴AB直線解析式：y=

4

3

x+4．
將A（-3，0）、C（-1，0）、B（0，4）代入拋物線解析式可得：

9a-3b+c=0 a-b+c=0 c=4

，
解得：

a= 4 3 b= 16 3 c=4

，
故拋物線解析式：y=

4

3

x²+

16

3

x+4．

（2）設(shè)P（x，

4

3

x+4），已知D的坐標(biāo)為：（2，0），
①若△ABO∽△APD，
則

AO

AD

=

AB

AP

=

BO

PD

，即

3

5

=

4

DP

，
解得：DP=

20

3

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

20

3

）．
②若△ABO∽△ADP，
則

AB

AD

=

AO

AP

，即

5

5

=

3

AP

，
解得：AP=3，
則（x+3）²+（

4

3

x+4）²=3²，
解得：x₁=-

6

5

，x₂=-

24

5

（不符合題意，舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-

6

5

，

12

5

）．
（3）⊙D的半徑r=2，
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

20

3

）時(shí)，⊙A的半徑AP=

25

3

，AD=5＜

25

3

-2，
故此時(shí)兩圓內(nèi)含；
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-

6

5

，

12

5

）時(shí)，⊙A的半徑AP=3，AD=5=3+2，
故此時(shí)兩圓外切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，第二問需要分類討論，不要漏解，第三問要求同學(xué)們掌握判斷圓與圓位置關(guān)系的方法，有一定難度．