Question

（2012•義烏市模擬）已知拋物線(xiàn)y=-

1

2

x2+2x與直線(xiàn)y=kx都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)E(

8

3

，

16

9

)．
（1）k=

2

3

；
（2）如圖，點(diǎn)P是直線(xiàn)y=kx（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足是點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)y=kx于點(diǎn)D，連接OB；若以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）

．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線(xiàn)解析式，計(jì)算即可求出k值；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)直線(xiàn)解析式表示出點(diǎn)P，根據(jù)拋物線(xiàn)解析式表示出點(diǎn)B，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BDP=∠POC，然后根據(jù)∠BDP的正切值求出BP與BD的比值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出∠BOC的正切值，再分①當(dāng)∠BDP=∠BOC時(shí)，兩三角形相似，②∠BDP與∠BOC互余時(shí)，∠BDP=∠OBC，兩三角形相似，兩三角形相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（

8

3

，

16

9

），
∴

8

3

k=

16

9

，
解得k=

2

3

；

（2）由（1）可知直線(xiàn)解析式為y=

2

3

x，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P（x，

2

3

x），B（x，-

1

2

x²+2x），
∵BD∥x軸，
∴∠BDP=∠POC，
∴tan∠BDP=tan∠POC=

2

3

，
即

BP

BD

=

2

3

，
又∠DBP=∠BCO=90°，
①當(dāng)∠BDP=∠BOC時(shí)，兩三角形相似，
所以，

BC

OC

=

BP

BD

，
即

|- 1 2 x2+2x|

x

=

2

3

，
整理得，|x-4|=

4

3

，
所以，x-4=

4

3

或x-4=-

4

3

，
解得x=

16

3

或x=

8

3

，
當(dāng)x=

16

3

時(shí)，y=

2

3

x=

2

3

×

16

3

=

32

9

，
當(dāng)x=

8

3

時(shí)，y=

2

3

x=

2

3

×

8

3

=

16

9

，此時(shí)點(diǎn)B、P重合，△BPD不存在，
所以，點(diǎn)P（

16

3

，

32

9

）；
②∠BDP與∠BOC互余時(shí)，∠BDP=∠OBC，兩三角形相似，
cot∠BOC=tan∠BDP=

2

3

，
所以，

OC

BC

=

BP

BD

，
即

x

|- 1 2 x2+2x|

=

2

3

，
整理得，|x-4|=3，
所以，x-4=3或x-4=-3，
解得x=7或x=1，
當(dāng)x=7時(shí)，y=

2

3

x=

2

3

×7=

14

3

，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

2

3

x=

2

3

×1=

2

3

，
所以，點(diǎn)P（7，

14

3

）或（1，

2

3

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）．
故答案為：（1）

2

3

；（2）（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，（2）要注意分情況討論求解．