Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)點(diǎn)P（3，4），與坐標(biāo)軸正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，△AOB的內(nèi)切圓的半徑是

1. A.
   2
2. B.
   3.5
3. C.
   
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直線AB的解析式是y=kx+4-3k，求出OA=4-3k，OB=，求出△AOB的面積是•OB•OA=12-=12-（9k+），根據(jù)-9k-≥2=24和當(dāng)且僅當(dāng)-9k=-時(shí)，取等號求出k=-，求出OA=4-3k=8，OB==6，設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，由三角形面積公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．
解答：設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直線AB的解析式是y=kx+4-3k，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4-3k，
當(dāng)y=0時(shí)，x=，
即A（0，4-3k），B（，0），
△AOB的面積是•OB•OA=••（4-3k）=12-=12-（9k+），
∵要使△AOB的面積最小，
∴必須最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-9k-≥2=2×12=24，
當(dāng)且僅當(dāng)-9k=-時(shí)，取等號，解得：k=±，
∵k＜0，
∴k=-，
即OA=4-3k=8，OB==6，
根據(jù)勾股定理得：AB=10，
設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，
由三角形面積公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，
R=2，
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，取最大值，三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求OA和OB的值，本題比較好，但是有一定的難度．