Question

如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于C、D，以OD為直徑作⊙A交CD于F，F(xiàn)A的延長線交⊙A于E，交x軸于B．
（1）設F（a，b），求以a，b為根的一元二次方程；
（2）求BE的長．

Answer 1

解：（1）過F作EH⊥BC，H為垂足，連接OF，由直線方程得，OD=4，OC=8，CD=4，
∵∠OFD為直徑OD所對圓周角，
∴OF⊥DC，OF==，
在Rt△OFC中，F(xiàn)C==，F(xiàn)H==，OH==，
∴a=，b=，
∴所求方程為x²-x+=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B為公共角，
∴Rt△BAO∽Rt△BFH，
∴=，==，
∴BE=．
分析：（1）作輔助線FO和FH，根據(jù)直徑所對的圓周角是90度，構造出直角三角形OFC，利用勾股定理求出a，b的值；
（2）利用相似三角形的性質，根據(jù)相似比來求．
點評：此題結合了圓的相關定理和勾股定理以及根據(jù)方程的根構造一元二次方程，綜合性較強且難度適中，是一道好題．