【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為4cm/s,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點(diǎn)N落在射線PD上,點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s)(0<t<).
(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時(shí),t的值為 ;
(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)直線MN與⊙O相切時(shí),求t的值.
【答案】(1) t=1;(2) t=s時(shí),△CMQ是以CQ為底的等腰三角形;(4) ,當(dāng)直線MN與⊙O相切時(shí),t的值是s或s.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)速度和時(shí)間表示PB=4t,利用同角的三角函數(shù)列式為:tan∠DBC= ,得PQ=3t;則BQ=5t,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得:CQ=PQ,列方程可得結(jié)果;(2)如圖2中,作MT⊥BC于T,由等腰三角形三線合一得:TQ=(8﹣5t),證明△QTM∽△BCD,列比例式得,代入可得方程,解方程即可;(3)由題意∠OEF=∠DEN=∠ADB,則sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3:5,分兩種情況:①若點(diǎn)O在正方形外MN與⊙O相切,如圖3所示,根據(jù)同角的三角函數(shù)列式可得結(jié)果;②若點(diǎn)O在正方形內(nèi)MN與⊙O相切,如圖4所示,同理列式:,解出即可.
試題解析:(1)由題意得:PB=4t,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=90°
∵PQ⊥BC
∴∠BPQ=90°
∵BC=AD=8,CD=6
∴tan∠DBC=
∴
∴PQ=3t
由勾股定理得:BQ=5t
∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t,
∵DQ平分∠BDC,DC⊥BC,
∴CQ=PQ,
則8﹣5t=3t,
t=1;
故答案為:1;
(2)如圖2中,作MT⊥BC于T,
∵MC=MQ,MT⊥CQ,
∴TC=TQ,
由(1)可知TQ=(8﹣5t),QM=PQ=3t,
∵四邊形PQMN為正方形,
∴MQ∥PN,
∴∠MQT=∠DBC,
∴△QTM∽△BCD,
∴,
∴,
∴t=(s);
∴t=s時(shí),△CMQ是以CQ為底的等腰三角形;
(3)設(shè)MN與⊙O相切于點(diǎn)F,與CD交于點(diǎn)E,則OF=0.8,
由題意∠OEF=∠DEN=∠ADB,
∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3:5,
∴ ,
∴,
∴OE= ,
①若點(diǎn)O在正方形外MN與⊙O相切,如圖3所示,
∵OD=3t,
∴DE=3t+,
∵BP=4t,NP=PQ=3t,
∴DN=10﹣7t,
∴,
∴t=;
②若點(diǎn)O在正方形內(nèi)MN與⊙O相切,如圖4所示,
∵OD=3t∴DE=3t﹣,
∵BP=4t,NP=PQ=3t,
∴DN=10﹣7t,
∴,
∴t=,
綜上所述,當(dāng)直線MN與⊙O相切時(shí),t的值是s或s.
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(2)作出原圖案關(guān)于y軸對(duì)稱的圖案.兩圖案中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系?
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